EL ALGEBRA ABSTRACTA

 

El presente boletín académico titulado “Sobre los comienzos del Álgebra Abstracta”, se presenta a la comunidad educativa de la Institución Educativa  “22 de Mayo”, a los estudiantes, docentes y padres de familia,  con el fin difundir el valor del algebra, llegando a ser una disciplina que nació de la práctica o vivencia real, al final constituyéndose en lo abstracto, relacionándose fuertemente con la geometría. Además presentamos algunas curiosidades para que los estudiantes puedan  diferenciar los números,  darles el valor y sentido común de acuerdo a sus características que presentan como: números primos, números perfectos,  números abundantes, números deficientes, o defectivos, números amigos, números sociables, números gemelos, números poligonales, el número áureo, el número e, el número π y algunas enigmas del número 23 y 7, que a lo largo de la historia estaban ligadas a ciertas situaciones de  casualidades que trajeron una utilidad de mala o buena suerte. Además se desea plasmar y fortalecer las capacidades de utilidad y cálculo, de los diferentes números que de acuerdo a sus características fueron clasificados y nombrados, en cierta medida también la de potenciar el bagaje cultural  y conocimiento matemático de nuestra comunidad educativa.

En definitiva, entender que la matemática es la base de su didáctica, la forma en que se construye el  conocimiento matemático es una fuente imprescindible a la hora de planificar y desarrollar su enseñanza, es por ello el entusiasmo de nosotros como docente, preocupado en el aprendizaje de nuestros estudiantes.

Esperando que los estudiantes saquen el máximo provecho posible de este presente material y entender que la matemática es y será una ciencia exacta que está ligada totalmente con la sociedad en que vivimos.

El autor

A comienzos del siglo XIX el álgebra se entendía como la manipulación y resolución de ecuaciones. La única finalidad del álgebra era la obtención de reglas de manipulación de ecuaciones y la asignación de valores numéricos que las verificaran, así como el estudio de las condiciones que pueden controlar la existencia de relaciones entre tales valores numéricos.

Las operaciones elementales se realizaban eligiendo más o menos inconscientemente los pasos que parecían más correctos o apropiados. Las reglas que apoyarían tales pasos de cálculo y manipulación permanecían ocultas. No se pensaba conscientemente que el explicitar tales reglas pudiera ser algo fundamental para el desarrollo del álgebra o la aritmética.

Se hablaba de la Matemática como la ciencia de la cantidad, sin poder asumir de una forma clara y coherente la existencia de cantidades negativas de las que se decía que representaban “algo menor que nada”, y que aparecían “al restar una cantidad mayor a otra menor”. A fin de que el Álgebra quedara fundamentada como una ciencia, los matemáticos anteriores la habían reducido a aritmética universal, aceptando los signos más y menos únicamente como signos de operación.

Los años comprendidos entre 1830 y 1930 vieron un desarrollo espectacular del Álgebra y, también, de la Geometría. Hacia el comienzo del siglo XX estos cambios habían ya originado una diferente visión general de la matemática, que tendría una clara incidencia en el desarrollo de la lógica matemática.

No fue, en efecto, hasta la publicación en 1830 de la obra On Treatise on Álgebra, del inglés George Peacock (1791-1858) cuando se vislumbró por vez primera la necesidad de formar una tabla que abarcara las leyes del Álgebra estableciendo las propiedades que tienen lugar en su aplicación, y la necesidad de obedecer estas reglas de forma consciente en los pasos de manipulación y cálculo.

Peacock, en el mencionado tratado de Álgebra, y del que se publicaría una segunda edición corregida en 1845, adelantó la idea de que el Álgebra es una ciencia deductiva, lo mismo que la Geometría. Ya en esa misma época, año 1837, su colega William Whewell (1794-

1866) publicó Mechanical Euclid, donde presentaba la Mecánica newtoniana como una ciencia deductiva con base en la Geometría de Euclides. El planteamiento de Peacock se basaba en dos aspectos clave:

a) todos los procesos del Álgebra se fundamentan en el establecimiento de un cuerpo de leyes y de sus correspondientes propiedades, no pudiéndose utilizar propiedad alguna para una determinada operación si no hubiera sido previamente establecida, o bien si no hubiera sido deducida desde las propiedades previamente establecidas,

b) cada operación establecida mediante un símbolo propio queda definida por una lista de propiedades o leyes, específicas para tal operación, que delimitan la forma y aplicación de la operación.

Estas ideas conformaron lo que se comenzó a denominar Álgebra Simbólica y Álgebra Abstracta, y la influencia de estos planteamientos permitieron la creación de nuevos sistemas, nuevas álgebras, no diferentes del álgebra elemental, pero ahora concebidas como sistemas abstractos aplicables a entidades que obviamente pueden ser diferentes de los conjuntos numéricos habituales. Así, podemos considerar la propiedad conmutativa, la asociatividad o el carácter simplificativo de ciertas operaciones sobre conjuntos numéricos, como ocurre para la adición o la multiplicación en ciertas condiciones, y su utilización sobre entidades diferentes como vectores, matrices, etc.

Este proceso desembocó en Gran Bretaña en una gran actividad en álgebra y lógica, en los años que siguen, apareciendo obras de gran importancia en el campo, como, en 1847, el extraordinario trabajo de George Boole (1815-1864), The Mathematical Análisis of Logic, being an essay towards a calculus of deductive reasoning.

Es el mismo autor el que hace esta declaración de intenciones: Quienes estén familiarizados con el estado actual del álgebra simbólica, saben bien que la validez de los procedimientos de análisis no depende de la interpretación de los signos que se emplean, sino exclusivamente de las leyes para su combinación. Cualquier sistema de interpretación que deje intacta la verdad de las relaciones presupuestas por ese procedimiento es igualmente legítimo... sin embargo, el pleno reconocimiento de las consecuencias de esta importante doctrina fue retrasado por circunstancias secundarias en cierta medida...

La expresión de magnitudes o de operaciones referentes a magnitudes ha sido el objetivo declarado para el que han sido inventados los símbolos del análisis y estudiadas sus leyes. De este modo las abstracciones del análisis moderno han estimulado, no menos que los diagramas intuitivos de la geometría antigua, la convicción de que la matemática es, en principio y no sólo de hecho, la ciencia de la magnitud... (En cambio) nosotros estamos en condiciones de dar precisamente como característica definitoria de cálculo la de que es un método basado en el uso de símbolos, cuyas leyes de combinación son conocidas y generales y cuyos resultados permiten una interpretación exenta de contradicciones...Sobre este principio general es sobre lo que yo me propongo construir el cálculo de la lógica y reclamo para él un lugar entre las formas reconocidas de análisis matemático, independientemente del hecho de que tal cálculo deba, por ahora, apartarse de ellas espontáneamente en todo lo referente a su objeto y sus instrumentos.

Hacia 1854, Boole pudo publicar An Investigation of the Laws of Thought en donde desarrolla las reglas sistemáticas para expresar y manipular problemas lógicos cuyos argumentos admiten dos estados (verdadero, falso). Uno de los acontecimientos que habían empujado al estudio del Álgebra abstracta, tal como fue planteada por Peacock, fue el descubrimiento de limitaciones importantes en la resolución de ecuaciones de quinto grado, realizado por N. Abel (1802-1829) y otros, estableciendo la imposibilidad de su resolución por los métodos ordinarios que habitualmente servían para la resolución de las ecuaciones polinómicas de menor grado (radicales).

Hasta entonces se pensaba que la resolución de ecuaciones de grado superior al cuarto se obtendría rutinariamente en el futuro, por radicales, considerándose que el proceso de avance del conocimiento futuro estaría de acuerdo con el conocimiento especializado de la época. Pero al igual que ocurriría en otras ramas de la ciencia, y por causas diferentes, estas creencias quedaron desbaratadas por los descubrimientos realizado en los años siguientes. En el caso del Álgebra, por los mismos avances de la Lógica Matemática.

En particular, Evariste Galois (1811-1832) concibe la idea de Grupo, analizando algunas propiedades principales. Desde la muerte de Abel y Galois fueron elaboradas álgebras de vectores y de matrices, que se añadieron a la Teoría de Grupos como ramas centrales del Álgebra abstracta.

A partir de 1840 se desarrolla el álgebra de magnitudes que actúan en una dirección, o álgebra vectorial, elaborada principalmente por William Rowlan Hamilton (1805-1865) y por Herman Grossman (1809-1877), entre otros. Se debe en particular a Grossman el primer ensayo de álgebra lineal y la aparición del concepto de espacio vectorial. En el álgebra vectorial no se verifican las leyes de conmutatividad y asociatividad del producto en general, aunque si otras leyes como la distribución con respecto a la suma de entidades vectoriales.

En la década siguiente, 1850-1860, apareció el álgebra matricial de Sir Arthur Cayley (1821-1895). Se trata del álgebra de tablas de m filas y n columnas, es decir, de tablas conteniendo mxn números. En esta álgebra existen otros tipos de limitaciones a la valides de las propiedades de las operaciones. Así, no es posible la multiplicación de la tabla A por la tabla B, salvo que el número de filas de A coincida con el número de columnas de B, no verificándose, obviamente, la conmutatividad del producto de tablas multiplicables.

En definitiva, aparecieron nuevas álgebras o parcelas en las que las antiguas leyes de conmutatividad, asociatividad, simplificación, etc., aunque habían sido tenidas desde siempre como incuestionablemente ciertas, dejaron de ser válidas, dejaban de funcionar en las nuevas álgebras. Resultó este hecho de enorme importancia para que se comprendiera y asumiera la necesidad absoluta de establecer en cada álgebra los puntos de partida y las reglas a usar en su desarrollo.

Resultó evidente, por una parte, que la valides de una ley dependería del campo o parcela sobre el cual se aplicase, y, por otra parte, también resultó claro que se podrían establecer y diseñar otros campos o álgebras, además de las estructuras numéricas clásicas. Los cambios progresivos en la concepción general del álgebra que se sucedieron a un fuerte ritmo en los cien años que hemos indicado, ejercieron una gran influencia en el contexto general de la matemática. Un claro ejemplo de ello es la forma en que las nuevas ideas de estructuración algebráica inluyeron en F.W. Schroeder (1841-1902) y A. Whitehead (1861-1947), para construir su Álgebra de la Lógica, mediante una exposición deductiva de signos y procesos propios del Álgebra abstracta.

EL ÁLGEBRA

1.        El álgebra es la rama de las matemáticas en las que se utilizan letras para   representar relaciones aritméticas.

2.        El álgebra utiliza operaciones fundamentales como lo son la adición, la  sustracción, multiplicación, división y cálculo de raíces.  

3.        El Teorema de Pitágoras dice que en un triángulo rectángulo el área del   cuadrado cuyos lados son iguales a la hipotenusa, es igual a la suma de las     áreas de los cuadrados cuyos lados son iguales a los catetos.                                                         

4.        El álgebra clásica se ocupa de resolver ecuaciones y utiliza símbolos en vez  de números específicos y operaciones aritméticas para determinar cómo usar    dichos símbolos.    

5.        El álgebra ha evolucionado desde el álgebra clásica, al poner más atención a las estructuras matemáticas.                                                                       

6.        Los matemáticos consideran el álgebra como un conjunto de reglas que los   conectan o relacionan.                                                                               

7.        La historia del álgebra como en general de la matemática comenzó en el  antiguo Egipto y Babilonia.                                                                                 

8.        Los egipcios y los babilonios fueron capaces de resolver ecuaciones lineales  y cuadráticas, así como ecuaciones indeterminadas con varias incógnitas.              

9.        Los matemáticos alejandrinos Herón y Diofanto continuaron con la tradición  de los egipcios y los babilonios.      

10.      Diofanto escribió el Libro Las Aritméticas. Este libro fue muy avanzado y presentó muchas soluciones sorprendentes para ecuaciones indeterminadas      difíciles.     

11.      La sabiduría sobre la solución de ecuaciones en el mundo islámico se llamó "Ciencia de Reducción y equilibrio.

12.      La palabra álgebra se originó de la palabra árabe "al - jabru", que significa  "reducción".  

13.      Los matemáticos árabes en la edad media fueron capaces de describir   cualquier potencia de la incógnita x, y desarrollaron el álgebra fundamental de  los polinomios, aunque sin usar los símbolos modernos.       

14.      El álgebra fundamental de los polinomios incluía multiplicar, dividir y extraer raíces cuadradas en polinomios, así como el conocimiento del teorema  del binomio.     

15.      A principios del siglo XIII el matemático Leonardo Fibonacci encontró una    aproximación cercana a la solución de la ecuación cúbica x3 + 2>x2 + cx = d.    Se dice que utilizó el método arábigo de aproximaciones sucesivas, pues había viajado a países árabes.       

16.      A principios del siglo XVI los matemáticos Scipione del Ferro, Tartaglia y Gerolamo Cardano resolvieron la ecuación cúbica general en función de las          constantes que aparecen en la ecuación.     

17.      Ludovico Ferrari fue alumno de Cardano, encontró la solución exacta para la ecuación de cuarto grado y, por ello, ciertos matemáticos de los siglos posteriores intentaron encontrar la fórmula de las raíces de las ecuaciones de   quintogrado y superior. Pero a principios del siglo XIX el matemático noruego    Niels Abel y el francés Évariste Galois demostraron la inexistencia de dicha   fórmula.          

18.      Un avance importante en el álgebra en el siglo XVI fue la introducción   símbolos para las incógnitas y para las operaciones algebraicas.

19.      El matemático y filósofo francés René Descartes, escribió el Libro III de la  Geometría.  

20.      La contribución más grande de Descartes a las matemáticas fue el   descubrimiento de la geometría analítica, que reduce la resolución de   problemas algebraicos.                            

21.      El libro de Descartes contiene los fundamentos de un curso de teoría de ecuaciones, incluyendo lo que el propio Descartes llamó la regla de los signos   para contar el número de raíces verdaderas (positivas) y falsas (negativas) de  una ecuación

22.      El matemático alemán Carl Friedrich Gauss, en 1799, publicó la   demostración de que toda ecuación polinómica tiene al menos una raíz en el  plano de los números complejos.      

23.      El cambio que hubo del álgebra clásica al álgebra moderna fue que el foco   de atención se trasladó de las ecuaciones polinómicas al estudio de la  estructura de sistemas matemáticos abstractos, cuyos axiomas estaban  basados en el comportamiento de objetos matemáticos, como los números  complejos, que los matemáticos habían encontrado al estudiar las ecuaciones   polinómicas.

24.      Dos ejemplos de los grupos de sistemas matemáticos abstractos son los  grupos y las cuaternas, que comparten algunas de las propiedades de los sistemas numéricos, aunque también difieren de ellos de manera sustancial.

25.      Estos grupos comenzaron como sistemas de permutaciones y combinaciones de las raíces de polinomios, pero evolucionaron para llegar a ser uno de los más grandes conceptos unificadores de las matemáticas en el siglo  XIX

26.      Los matemáticos franceses Galois y Augustin Cauchi, el británico Arthur   Cayley y los noruegos Niels Abel y Sophus Lie hicieron importantes    contribuciones al estudio de los sistemas matemáticos abstractos

27.      El descubridor de las cuaternas fue el matemático y astrónomo irlandés  William Rowan Hamilton, quien desarrolló la aritmética de los números   complejos para las cuatreñas.

28.      El físico estadounidense J. W. Gibbs encontró en el álgebra vectorial un sistema de gran utilidad para los físicos, del mismo modo que Hamilton lo había hecho con las cuaternas.

29.      George Boole, influenciado por el enfoque abstracto del álgebra, escribió  una investigación sobre las leyes del pensamiento, un tratamiento algebraico  de la lógica básica.

30.      Al álgebra moderna se le llama también álgebra abstracta.